จำนวนเต็ม

ในทางคณิตศาสตร์นั้น จำนวนเต็มแบ่งออกเป็น 3 ชนิดนะคับ จำนวนเต็มนั้นภาษาอังกฤษใช้คำว่า Integer  ทั้ง 3 ชนิดประกอบไปด้วย
1. จำนวนเต็มบวก (Positive Integer) จำนวนเต็มบวกมีชื่อเรียกหลายชือคับ บางทีเรียกว่า จำนวนนับ หรือว่า จำนวนธรรมชาติ มีหลายชื่อมาก แต่ก็คือตัวเดียวกันนั่นแหละ จำนวนเต็มบวกมีมีสมาชิกดังต่อไปนี้
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14...
ซึ่งจะเห็นว่าจำนวนเต็มบวกมีสมาชิกมากมายเป็นอนันต์ไปเรื่อยๆ ไม่มีสิ้นสุด ฉนั้นถ้าถามหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดอย่าได้ถามหาเลย เพราะหาไม่ได้แน่นอน แต่ถ้าถามหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ก็คือ 1 นั่้นแหละ
2. จำนวเต็มลบ (Negative Integer) จำนวนเต็มลบจะเป็นอะไรที่ตรงกันข้ามกับจำนวนเต็มบวก กล่าวคือ จำนวนเต็มบวก จะเริ่มเต็มจาก 1 ซึ่งมีค่าน้อยสุด และเพิ่มเป็น 2 ,3 ซึ่งมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่่อยๆ พูดง่ายๆก็คือเริ่มจากน้อยไปหามาก   แต่จำนวนเต็มลบนั้นตรงข้ามกันเลย จะเริ่มจากมาก ไปหาน้อย  เรามาดูสมาชิกของจำนวนเต็มลบกันเลย
-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10,-11,-12,-13,-14,-15,-16,-17,-18,...
จะเห็นว่าจำนวนเต็มลบเริ่มจากตัวที่มีค่ามากสุดคือ -1  (ติดลบน้อยก็แสดงว่ามีค่ามากนะ) จากนั้นค่าจะลดลงเรื่อยๆ ฉนั้นถ้าถามหาจำนวนเต็มลบที่มีค่าน้อยสุด หาไม่ได้นะจ๊ะมันลดลงไปได้เรือยๆ แต่จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากสุดคือ -1 นั้่นเอง
3.จำนวนเต็มศูนย์(Zero) หรือเรียกสั้นว่า ศูนย์ก็ได้
เป็นจำนวนเต็มที่มีสมาชิกโดดเดียวตัวเดียวไม่มีเพื่อนเลย นั้นคือ  เลข 0


เมื่อนำจำนวนเต็มทั้งสามชนิดมาเขียนเรียงต่อกันก็จะได้ ดังนี้ ครับ
...,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...
จะเห็นว่า ศูนย์ อยู่ตรงกลางระหว่างจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบ   นะครับ ไม่ยากครับถ้าเข้าใจคอนเซปต์ของจำนวนเต็มแล้วต่อไปเราก็สามารถบวกลบ  คูณ  หาร  จำนวนเต็มได้

การสมการกำลังสองโดยใช้สูตร

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวนั้น มีหลายวิธีน่ะคับ อย่างที่ผมได้เขียนไว้ในตอนที่ 1 และตอนที่ 2 ก็ลองไปอ่านดูกันน่ะแต่ละวิธีในการแก้สมการกำลังสองก็แล้วแต่ลักษณะของโจทย์ ลักษณะโจทย์ที่ต่างกันก็ใช้วิธีการในการแก้ที่ต่างกันไปด้วย...แต่วิธีที่จะนำเสนอในวันนี้เป็นการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร วิธีการนี้ไม่ว่าโจทย์จะออกมาลักษณะอย่างไรก็สามารถแก้ได้หมดครับ ...ไม่ต้องห่วงเลย ถ้าฝึกวิธีนี้สำเร็จรับรองว่าสอบได้คะแนนเต็มCoolแน่นอนสำหรับเรื่องนี้ ผมว่าไปดูวิธีการทำกันเลย... สมการกำลังสองตัวแปรเดียวมีรูปแบบทั่วไป(General Form) คือ   \(ax^{2}+bx+c=0\)  ซึ่งเราสามารถหาคำตอบ(หาค่า x)ของสมการกำลังสองนี้โดยใช้สูตรนี้

 \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) 

 มาดูตัวอย่างการนำสูตรไปใช้กันดีกว่าคับ
 1.จงแก้สมการต่อไปนี้ 1.1 \(x^{2}-12x+11=0\)
 วิธีทำ ขั้นตอนแรกเราต้องหาค่าของ  a ,b  และ  c  ก่อน น่ะ a คือสัมประสิทธิ์หน้าเอ็กซ์กำลังสอง b คือสัมประสิทธิ์หน้าเอ็กซ์   c คือค่าคงตัว จากโจทย์ จึงได้ว่า a=1 ,b=-12 และ c=11 นำค่าของ a,b และ c ไปแทนในสูตรเลยคับ
 \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
 \(x=\frac{-(-12)\pm \sqrt{(-12)^{2}-4(1)(11)}}{2(1)} \)
 \(x=\frac{12\pm \sqrt{144-44}} {2}\)
 \(x=\frac{12 \pm \sqrt{100}}{2}\)
 \(x=\frac{12 \pm 10}{2}\)
 จะได้ \(x=\frac{12 + 10}{2}\) หรือ \(x=\frac{12-10}{2}\)
 \(x=\frac{22}{2}\) หรือ \(x=\frac{2}{2}\)
 \(x=11\) หรือ \(x=1\)
 1.2 \( 2x(x-3)=4(10-x)\)
วิธีทำ  ข้อนี้เราต้องจัดสมการในข้อนี้ให้อยู่ในรูป \(ax^{2}+bx+c=0\) ก่อนนะคับ เพื่อที่จะหาค่าของ a,b,c จากโจทย์ \( 2x(x-3)=4(10-x)\) เอา 2x และ 4 คูณเข้าไปในวงเล็บเลย \(2x^{2}-6x=40-4x\) ทำฝั่งขวาของสมการให้เป็นศูนย์ ย้ายทุกพจน์ไปอยู่ฝั่งซ้ายให้หมด จะได้ \(2x^{2}-6x+4x-40=0\) พจน์ไหนที่บวกลบกันได้ก็จับบวกลบกันน่ะ \(2x^{2}-2x-40=0\) จากตรงนี้จะเห็นว่าสมการอยู่ในรูปของ \(ax^{2}+bx+c=0\) แล้ว นั่นคือ a=2 b=-2 c=-40 นำค่า a,b,c ไปแทนลงในสูตรเลยคับ จากสูตรคือจะได้
 \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
 \(x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^{2}-4(2)(-40)}}{2(2)}\)
 \(x=\frac{2 \pm \sqrt{4+320}}{4}\)
 \(x=\frac{2 \pm \sqrt{324}}{4}\)
\(x=\frac{2 \pm 18}{4}\)
 จะได้ \(x=\frac{2+18}{4}\) หรือ \(x=\frac{2-18}{4}\)
 \(x=\frac{20}{4}\) หรือ \(x=\frac{-16}{4}\)
 \(x=5\) หรือ \(x=-4\)

 1.3 \(x^{2}-3x-10=0\)
 จะได้ว่า a=1,b=-3 และ c=-10 แทนค่าลงไปในสูตรเลยคับ จากสูตร

\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
จะได้ \(x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-10)}}{2(1)}\)
 \(x=\frac{3\pm \sqrt{49}}{2}\)
 \(x=\frac{3\pm 7}{2}\)
 จะได้ \(x=\frac{3+7}{2} \quad หรือ \quad x=\frac{3-7}{2}\)
 \(x=5 \quad หรือ \quad x=-2\)

 1.4 \(x^{2}+4x+1\)
 จากโจทย์จะได้ว่า a=1,b=4 และ c=1 จากสูตร

\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

จะได้ \(x=\frac{-4\pm \sqrt{4^{2}-4(1)(1)}}{2(1)}\)
 \(x=\frac{-4\pm \sqrt{16-4}}{2}\)
\(x=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}\) จากตรงนี้อย่าลืมน่ะว่า \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) แทนค่าลงไปเลยจะได้ \(x=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}\) ต่อไปตัวไหนตัดทอนได้ก็ตัดทอนไปเลย จะได้
 \(x=\frac{-4}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{2} \quad หรือ\quad x=\frac{-4}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{2}\)
\(x=-2+\sqrt{3} \quad หรือ \quad x=-2-\sqrt{3}\)

 1.5 \(3p^{2}+2=2p\)
 จากโจทย์จัดสมการก่อนคับโดยทำให้ฝั่งขวาของสมการเป็นศูนย์ จะได้
 \(3p^{2}-2p+2=0\) จะได้ a=3,b=-2 และ c=2 แทนค่าลงไปในสูตร 
\(p=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

 \(p=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^{2}-4(3)(2)}}{2(3)}\)
 \(p=\frac{2\pm \sqrt{4-24}}{6}\)
 \(p=\frac{2\pm\sqrt{-20}}{6}\)
จากตรงนี้จะเห็นว่าข้างในเครื่องหมายสแควท์รูทติดลบซึ่งหาค่าไม่ได้แน่นอนนั่นก็หมายความว่าสมการกำลังสองข้อนี้ไม่มีคำตอบ

โจทย์ปัญหาปริมาตรปริซึม 4

4.พิชัยต้องการซื้อดินมาถมสนามหญ้าหน้าบ้านซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก กว้าง 18 เมตร  ยาว 21 เมตร โดยยกระดับความสูงกว่าระดับเดิม  20 เซนติเมตร ถ้ารถบรรทุกดินคันหนึ่งมีกระบะบรรทุกยาว 3.5 เมตร กว้าง 2 เมตร สูง 1 เมตร จะต้องซื้อดินอย่างน้อยกี่คัน
วิธีทำ       ข้อนี้ไม่ยาก ล้กษณะเหมือนกับการตวงสิ่งของ ตัวอย่างเช่น น้ำในโอ่ง 100 ลิตร ตักน้ำออกจากโอ่ง ตักออกครั้งละ 10 ลิตร จะต้องตักกี่ครั้งน้ำจึงจะหมด  อันนี้เหมือนกันครับ จะต้องเทดินกี่ครั้ง กี่คันรถ การคิดเหมือนกันครับ
เริ่มทำเลยน่ะครับ  ขั้นแรก เราต้องหาปริมาตรของพื้นที่ที่เราจะนำดินมาถมก่อนก็คือสนามหญ้านั้นเองหาเลยครับ   ปริมาตร = 18*21*0.2 = 75.6  ลูกบาศก์เมตร
นั้นคือเราต้องนำดินมาถม สนามหญ้า 75.6  ลูกบาศก์เมตรจึงจะพอดีกับความต้องการ  แล้วต้องใช้กี่คันรถละ เราก็ต้องหาปริมาตรของดินที่รถสามารถบรรทุกได้ ก็คือหาปริมาตรของกระบะรถบรรทุกครับ
                    ปริมาตรของกระบะรถบรรทุก = 3.5*2*1= 7 ลูกบาศก์เมตร
จากที่เราหามา ดินที่ต้องใช้ถมสนามหญ้า จำนวน 75.6  ลูกบาศก์เมตร  โดยใช้รถบรรทุกขน ซึ่งขนมาถมครั้งละ 7 ลูกบาศก์เมตร  ต้องขนกี่ครั้งหรือว่ากี่คัน จึงจะเต็มนั้นคือ  75.6/7= 10.8 คัน หรือประมาณ 11 คันนั่นเอง
ตอบ 11  คันรถ

โจทย์ปัญหาปริมาตรปริซึม 3

3.อ่างเก็บน้ำทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากยาว 20  เมตร กว้าง 12 เมตร ถ้าต้องการเก็บน้ำไว้ในอ่าง 1920 ลูกบาศก์เมตร ระดับน้ำจะต้องสูงจากก้นอ่างเท่าไร
วิธีทำ      ข้อนี้ยากขึ้นนิดหนึ่งแต่ก็ไม่ยากเท่าไร เป็นการแก้สมการง่ายๆ  วิเคราะห์โจทย์ก่อนว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง  โจทย์บอกความยาวฐาน และความกว้างฐาน และให้ปริมาตร มา และหให้หาความสูง
เริ่มทำเลยไม่ยาก     
    ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน * สูง
                  1920 =  20* 12 * สูง
ใช้วิธีการแก้สมการธรรมดา ย้ายข้างเอาครับ ง่ายๆ ไม่ยาก
                สูง = 1920/20*12=1920/240 = 8   เมตร
ตอบ 8  เมตร

โจทย์ปัญหาปริมาตรปริซึม 2

2.ถ้าอากาศ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตรหนัก 0.008 กรัม จงหาน้ำหนักของอากาศซึ่งอยู่ในห้องที่ยาว 26 เมตร กว้าง 16.8 เมตร และสูง 5.5 เมตร
วิธีทำ         ข้อนี้ไม่ยากอีกแล้วแต่ระวังโดนหลอกน่ะครับ ดู หน่วยดีน่ครับ ลูกบาศก์เซนติเมตร  และ เมตร   ต้องดูให้ดีนะครับไม่อยากนั้นอาจผิดได้ง่ายๆครับ
ข้อนี้เราจะเปลี่ยนความยาวของห้องให้มีหน่วยเป็นเซนติเมตรน่ะครับ ทำไมเปลี่ยนนั้นหรอ ไม่ขอตอบ ลองสังเกตดูน่ะครับ ไม่ยาก
เริ่มลงมือทำเลยแล้วกัน  26  เมตร เท่ากับ  2600   เซนติเมตร
                                     16.8  เมตร  เท่ากับ 1680  เซนติเมตร
                                     5.5 เมตร เท่ากับ 550  เซนติเมตร
เมื่อเปลี่ยนแล้วก็ค่อยมาหาปริมาตรของ อากาศในห้องครับ ไม่ยาก
                               ปริมาตรอากาศ = พื้นที่ฐาน *  สูง
                                                        = (2600*1680)*550
                                                        = 2402400000  ลูกบาศก์เซนติเมตร
นี่ืคือปริมาตรอากาศในห้อง น่ะครับ บางคนอาจคิดว่าทำไม่เยอะจัง ดูหน่วยน่ะครับ เป็นลูกบาศก์เซนติเมตร ครับ ไม่เยอะครับ
ยังไม่เสร็จน่ะครับ โจทย์ถามหาอากาศเป็นกรัม เราต้องหาว่า  2402400000  ลูกบาศก์เซนติเมตรเท่ากับกี่กรัม 
ไม่ยาก โจทย์บอกมาว่า  1 ลบ.ซม. เท่ากับ  0.008 กรับ
                                ถ้า 2402400000 ลบ.ซม. จะเท่ากับ 0.008 *2402400000= 19219200  กรัม


ตอบ  19219200  กรัม

โจทย์ปัญหาปริมาตรปริซึม 1

1. ปีบน้ำมันพืชทรงสี่เหลี่ยมใบหนึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 30 เซนติเมตร ปีบสูง 55 เซนติเมตร บรรจุน้ำมันพืชเต็มปีบ ถ้าแบ่งน้ำมันพืชใส่ถุง ถุงละ 0.75 ลิตร จนหมดปีบ จะได้น้ำมันพืชอย่างมากกี่ถุง
วิธีทำ                 มาเคราะห์โจทย์กันก่อนครับ โจทย์ข้อนี้ไม่ยากครับ ประมาณว่าถ้ามีน้ำมันพืช  100 ลิตร แบ่งใส่แกนลอน แกนลอนละ 5 ลิตร จะได้กี่แกนลอน ไม่ยากครับ  เอา 100  หารด้วย 5  ก็จะได้คำตอบใช่ไหม
มาดูวิธีการทำดีกว่า
          ขั้นที่ 1  เราต้องหาปริมาตรของน้ำมันพืชก่อนใช้ไหมหายังไงละ น้้ำมันพืชบรรจุอยู่ในปีบซึ่่งเป็นปริซึมก็ใช้สูตรในการหาปริมาตรของปริซึม
                           ปริมาตรปริซึม =  พื้นที่ฐาน  *  สูง
ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังนั้น พื้นที่ฐาน คือ  ด้าน  คูณ  ด้าน นั้นคือ  30  * 30 =  900  ตารางเซนติเมตร


แล้วสูงละ  โจทย์บอกมาแล้วครับ ปีบสูง 55 เซนติเมตร    ดังปริมาตรหาไม่ยากครับ  หาเลยครับ
                          ปริมาตรน้ำมันพืช =  900  *  55
                                                       =  49500   ลูกบาศก์เซนติเมตร
ต่อไปเอาน้ำมันพืชมาบรรจุถุงใช่ไหมครับ ไม่ยากครับ บรรจุถุงละ 0.75  ลิตร  ก็เอามาหารกันซิครับ แต่อย่าพึงหารน่ะครับ ต้องทำหน่วยให้เหมือนกันก่อน  นั้นคือ
        เราต้องทำ 49500  ซึ่งมีหน่วยเป็นลูกบาศก์เซนติเมตร ให้มีหน่วยเป็นลิตรก่อนน่ครับถึงจะหารกับ 0.75  ได้
สิ่งที่เราต้องรู้คือ  1000 ลูกบาศก์เซนติเมตร เท่ากับ 1  ลิตร
ดังนั้น  49500 ลูกบาศก์เซนติเมตร จะเท่ากับ  1/1000  * 49500 = 49.500  ลิตร
ที่นี้หน่วยเหมือนกันแล้วก็นำมาหารกันได้  นั้นคือ  น้ำมันพืช จำนวน  495  ลิตร แบ่งใส่ถุง ถุงละ 0.75 ลิตรจะได้ จำนวน  49.5 /0.75 = 66  ถุง ไม่ยากครับ 
ตอบ     66       ถุง




*  หมายถึงเครื่องหมายคูณ นะครับ
/  หมายถึงเครื่องหมายหาร คับ


หวังว่าคงเข้าใจกันทุกคน

ปริซึม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน 

ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน คูณ  สูง